* theorie ontbinden in factoren

Terug naar de hoofdstukindeling:

3-Havo  3-Vwo 

Haakjes wegwerken.
Hieronder is een rechthoek met een breedte van 2 weergegeven.



2         
           a


2
    3

De eerste rechthoek heeft een lengte van a en een breedte van 2. De oppervlakte is dus a2 = 2a. 
De tweede rechthoek heeft een lengte van 3 en een breedte van 2. De oppervlakte is dus 32 = 6.
De totale oppervlakte is dus 2a+6.

De lengte kan ook geschreven worden als (a+3). De oppervlakte is dus 2(a+3).
Met een vermenigvuldigtabel kun je deze opgave uitrekenen.

a +3
2 2a +6

2a = 2a
23 = 6
2(a+3) = 2a+6.

In een broodtrommel zitten 3 botterhammen (3b) en 2 chocoladereepjes (2c).
Het broodtrommeltje bevat dus: 3b + 2c. Nu heeft de familie Jansen 5 kinderen, alle 5 de kinderen krijgen dit broodtrommeltje mee naar school. Hoeveel boterhammen zijn er in totaal en hoeveel chocoladereepjes.
De opgave die we krijgen: 5 x (3b + 2c) = 5(3b + 2c)
Het keerteken mag je weglaten.
We weten in ieder geval dat er in n broodtrommel 3 boterhammen en 2 chocoladereepjes zitten. Dus in vijf broodtrommels zitten: 5 x 3b = 15 b.
en 5 x 2c = 10c.

5(3b + 2c) = = 15b + 10c

Je vermenigvuldigt dus eerst het eerste getal binnen haakjes met het getal erbuiten, en daarna het tweede getal. (Dit geldt alleen als er een maalteken hoort te staan tussen 5 en het haakje)
Nog twee voorbeelden:
3(4r + 5t) = 12r + 15t
p(3p + 12) = 3p + 12p

Staat er is de opgave alleen een '-' voor de haakjes, dan bedoelen we daarmee -1.
-(4a+8) is hetzelfde als -1(4a+8).

4a +8
-1 -4a -8

-14a = -4a
-1+8 = -8      
dus:   -(4a+8) = -4a-8.

Hieronder is een andere rechthoek weergegeven.

2  


x

            x




       4

De lengte van deze rechthoek is (x+4). De breedte van deze rechthoek is (x+2).
De oppervlakte is dus (x+4)(x+2).
Met de volgende vermenigvuldigtabel kun je de oppervlakte uitrekenen:

x +2
x x +2x
+4 +4x +8

xx = x
x+2 = +2x
+4x = +4x
+4+2 = +8
dus: (x+4)(x+2) = x+2x+4x+8 = x+6x+8.

Ontbinden in factoren.
Bij het oplossen van tweedegraads of hogere graads vergelijkingen gebruik je vaak een belangrijke eigenschap van vermenigvuldigen.

Als a  b = 0, dan geldt:   a = 0 of b = 0

Dat betekent dat als een produkt (het resultaat van een vermenigvuldiging) de waarde nul heeft, minstens n van de factoren (de 'dingen' die je met elkaar vermenigvuldigd) nul moet zijn. Dit kun je gebruiken om vergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 1:
x  (x + 1) = 0
Je hebt hier te maken met twee factoren: x en x + 1.
En van deze twee factoren moet nul zijn, dus:
x = 0 of x + 1 = 0
Conclusie: x = 0 of x = -1.
Niet alle vergelijkingen bestaan natuurlijk uit een produkt, maar vaak kun je er voor zorgen dat er wel een produkt komt te staan.

Voorbeeld 2:
x2 + x = 0
kun je schrijven als:
x  (x + 1) = 0
Deze bewerking heet ontbinden (in factoren).
Je hebt de vergelijking x2 + x = 0 herschreven als een produkt dat de waarde nul heeft. Dit laatste type vergelijkingen kun je oplossen met de 'eigenschap' van produkten (zie boven).
Voordat je gaat ontbinden moet je de vergelijking op nul herleiden.

Voorbeeld 3:
x3 = 2x2
x3 - 2x2 = 0
x2  (x - 2) = 0
x2 = 0 of x - 2 = 0
x = 0 of x = 2

Samengevat:
* Eerst op nul herleiden
* Ontbinden in factoren
* Gebruik "Als a  b = 0, dan a = 0 of b = 0"

Voorbeeld 4: Ontbinden in factoren.
Wanneer we x2+5x+6 moeten ontbinden wordt het iets moeilijker. We moeten naar een vorm: (x+a)(x+b), met a en b twee willekeurige getallen. Hierbij moeten we eerst terug naar het begin. 
We moeten eerst zorgen dat de vergelijking de volgende vorm heeft: x2+bx+c.
We weten dat het volgende geldt: (x+3)(x+4) = x2+4x+3x+12 = x2+7x+12.
Wanneer we kijken hoe de 7x  in de formule x2+7x+12 ontstaan dan kunnen we concluderen dat dit een optelling is van de getallen a en b 
Hoe ontstaat de 12 in de formule x2+7x+12, deze ontstaat door een vermenigvuldiging van de getallen a en b.

We krijgen nu de vorm: (x+a)(x+b). 
we weten nu: a+b = 7, en ab = 12.
Welke twee getallen die vermenigvuldigd worden levert 12 op? Alle mogelijkheden zetten we in een tabel. 

a b vermenigvuldigd (12) opgeteld (7)
1 12 12 13
-1 -12 12 -13
2 6 12 8
-2 -6 12 -8
3 4 12 7
-3 -4 12 -7

Alleen het vet gedrukte deel geldt ook voor de optelling 3+4 = 7 (er moet 7 uitkomen). 
We krijgen nu:  x2+7x+12 = (x+3)(x+4).
Wanneer we terug gaan naar de volgende vergelijking: x2+5x+6.
Dan moet gelden dat de 5 voor de x een optelling moet zijn van twee getallen.
De 6 aan het eind moet de vermenigvuldiging zijn van diezelfde getallen.
We maken eerst een tabel voor de vermenigvuldiging en kijken welke optelling klopt.

a b vermenigvuldigd (6) opgeteld (5)
1 6 6 7
-1 -6 6 -7
2 3 6 5
-2 -3 6 -5

Voor 2 en 3 klopt het want 23  = 6 en 2+3 = 5. Het antwoord wordt dan:
x2+5x+6 = (x+2)(x+3).

Voorbeeld: x2-8x-20.
Deze vergelijking heeft de juiste vorm (ax2+bx+c).
Een tabel:

a b vermenigvuldigd (-20) opgeteld (-8)
1 -20 -20 -19
-1 20 -20 19
2 -10 -20 -8
-2 10 -20 8
4 -5 -20 -1
-4 5 -20 1

De oplossing wordt dan: x2-8x-20 = (x-10)(x+2).

'Normaal' gesproken zijn er twee soorten van ontbinden in factoren:
* Een zo groot mogelijke term buiten haakjes halen.
* Van een drieterm een produkt van 2 tweetermen maken.
Deze laatste soort staat wel bekend onder de naam som-produktmethode.

x2 + 8x + 12 kun je ontbinden als (x + 6)(x + 2).
Controle: (x + 6)(x + 2) = x2 + 2x + 6x + 12 = x2 + 8x + 12. Klopt!
De vraag is nu: hoe kun je zo'n ontbinding vinden?
Laten we eens kijken naar wat voorbeelden:
(x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6
(x + 2)(x-3) = x2 - x - 6
(x + 1)(x - 4) = x2 - 3x - 4
(x - 4)(x - 4) = x2 - 8x + 16
(x - 3)(x + 3) = x2 - 9

Als het goed is vallen er twee dingen op:
* Het getal voor de x aan de rechter kant is de som (optellen dus) van de twee getallen aan de linker kant.
* Het getal aan de rechter kant is het produkt (vermenigvuldigen dus) van de twee getallen aan de linker kant.

Schematisch:

Nu andersom:
Je wilt een ontbinding vinden voor x2 + 7x + 12
Op grond van het bovenstaande moet je twee getallen zoeken die opgeteld 7 zijn en vermenigvuldigd 12. Mogelijke kandidaten (alle mogelijke tweetallen met als produkt 12):
  1 -1 2 -2 3 -3
  12 -12 6 -6 4 -4
product 12 12 12 12 12 12

Als je nu ook nog naar de som kijkt, krijg je volgende tabel:
  1 -1 2 -2 3 -3
  12 -12 6 -6 4 -4
som 13 -13 8 -8 7 -7

Ik zocht twee getallen met produkt 12 en som 7, dus 3 en 4.
Je kunt x2 + 7x + 12 dus ontbinden als (x + 3)(x + 4).

Machten.
Als de grondtallen in een macht even groot zijn bij een vermenigvuldiging, dan mag je exponenten optellen, bijvoorbeeld 23 x 24 = 27.
In formule-vorm:  pa x pb = pa+b.

Als de grondtallen in een macht even groot zijn bij een deling, dan mag je exponenten aftrekken, bijvoorbeeld 27 : 24 = 23.
In formule-vorm:  pa : pb = pa-b.

Derde-machtsopgaven.
Staat er in alle termen een x, dan kun je ook derdemachtsopgaven oplossen. Bijvoorbeeld: x3+4x2-5x = 0
Je kan een x buiten de haakjes halen.
x
3+4x2-5x = x(x2+4x-5).
Dit levert als oplossing x=0 en x
2+4x-5=0.
Het laatste kun je met ontbinden in factoren oplossen, namelijk
(x+5)(x-1) = 0.
x+5 = 0 of x-1 = 0
x = -5 of x = 1
De antwoorden zijn dus: x=-5, x = 0 of x = 1.