Vlakvullingen

Misschien kennen jullie M.C. Escher wel. Hij is een graficus en kunstenaar die zich ook met wiskunde bezig hield.

In dit werkstuk ga je zelf een rooster van veelhoeken maken. Daarna ga je in tegelpatronen van o.a. M.C. Escher de onderliggende roosters bepalen. In vier stappen wordt uitgelegd hoe je zelf een vlakvulling kunt maken. Tot slot worden nog enkele andere tegels gegeven waarmee je een vlakvulling kan maken.

 

Je eigen regelmatige vlakvulling

In Spanje en Portugal zijn de huizen vaak versierd met mooie betegelingen. Dit zijn mozaïeken waar een herhalend patroon in zit. Escher heeft vele variaties op deze betegelingen gemaakt met allerlei dieren en figuren.

Bekijk het figuur hiernaast. Het is een voorbeeld van een regelmatige vlakvulling. Je ziet dat de paarden zo herhaald worden dat ze elkaar niet overlappen, maar ze wel het hele vlak opvullen.

Dit is gelijk een ingewikkeld voorbeeld. Voordat je zo’n vlakvulling kunt maken moet je eerst een rooster maken. Een rooster ontstaat als je door het herhalen van een veelhoek een heel vlak bedekt, zonder dat er ergens gaten overblijven en zonder dat er overlap is tussen veelhoeken.

Enkele veelhoeken zijn het vierkant, de driehoek, de zeshoek, het trapezium en de vijfhoek.

                    

Met elke driehoek kun je een heel vlak vullen.

Opdracht 1: Op het werkblad staat een ruitjesblad. Teken op dat ruitjespapier een driehoeksrooster. Vul het vlak verder in op de manier van het voorbeeld.

Ook met alle vierhoeken kun je een heel vlak vullen. Vierhoeken komen bovendien in bijzondere vormen voor o.a. als vierkant, als rechthoek, als ruit of als parallellogram.

Opdracht 2: Op het werkblad staat een ruitjesblad. Teken op dat ruitjespapier een parallellogramrooster. Vul het vlak verder in op de manier van het voorbeeld.

Een Escher-achtige tekening kun je maken door een rooster van veelhoeken, zoals je die nu zelf gemaakt hebt, te vervormen. Je verandert dan de zijden van een veelhoek op zo’n manier dat je met die veranderde veelhoek weer het hele vlak kunt opvullen. Zo’n veranderde veelhoek noemen we een tegel. Door de tegel te herhalen krijg je een vlakvulling.

Elke vlakvulling heeft dus een onderliggend rooster. Hieronder zie je een voorbeeld van een vlakvulling met een tegel opeen driehoeksrooster.

Opdracht 3: Op het werkblad zie je een vlakvulling van veranderde veelhoeken.

a. Kleur een tegel.

b. Teken er met kleurpotlood het rooster van veelhoeken in.

Een systematische manier om dit onderliggende rooster te vinden is de volgende: Je zoekt de hoekpunten in de tekening, waar meer dan twee figuren samenkomen. Bij een van die figuren loop je de hele vorm langs op zoek naar andere punten waar meerdere figuren samenkomen. Als je alle punten hebt gevonden, dan kun je die punten met elkaar verbinden door rechte lijnen en dat is dan een onderliggend rooster.

Opdracht 4: Hieronder zie je een tekening van Escher en twee eigen vlakvullingen. Zoek in deze tekeningen ook het onderliggend rooster van veelhoeken (driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, zeshoeken,...).

Hoe kun je nu zelf een tegel maken?

 

Een tegel kun je met de volgende transformaties maken.

(a) Translatie (verschuiving). Te gebruiken bij alle roosters behalve de gelijkzijdige driehoek. Een translatie is een verschuiving (langs een rechte lijn). Bijvoorbeeld in een parallellogram verander je een zijde en deze schuif je naar de overliggende zijde.

Voorbeeld:

(b) Rotatie (draaiing) om hoekpunt. Te gebruiken bij bijv. De volgende roosters: driehoeken, vierkanten of zeshoeken. Verander eerst een hele zijde van een veelhoek en draai (roteer) de veranderde zijde om een hoekpunt naar de volgende zijde.

Voorbeeld:

(c) Rotatie om middens van zijden. Te gebruiken bij driehoeken en vierhoeken.
Begin met het veranderen van de helft van een zijde. Dit veranderde deel draai (roteer) je om het middelpunt van die zijde naar de andere helft.

Voorbeeld:

(d) Glij-spiegelen. Te gebruiken bij bijv. parallellogram, vierkant, ruit, rechthoek.
Glijspiegelen is een combinatie van een spiegeling en een verschuiving langs de spiegelas.

Voorbeeld:

Met de transformaties die je hiervoor hebt gezien zijn de volgende twee tegels te maken.

Voorbeeld:      Voorbeeld:     

Twee voorbeelden van vlakvullingen met bovenstaande tegels.

Opdracht 5: Ga van onderstaande tegels na welke transformaties gebruikt zijn.

Hoe kun je nu zelf een Escher-vlakvulling maken?

Opdracht 6:

Stap 1: Teken een figuur bijvoorbeeld een rechthoek, driehoek enz. van minimaal 2 bij 2 cm.

Stap 2: Maak een rooster van minimaal een half A4-tje op ruitjespapier met jou figuur.

Stap 3: Neem op transparant papier alleen de hoekpunten van het rooster over, zodat je een vlak vol stippen krijgt.

Stap 4: Bewerk van één figuur op je ruitjespapier de zijden (zoals bij de voorbeelden) zodat er een tegel ontstaat.

Stap 5: Teken de tegel over op je transparant.

Stap 6: Maak de vlakvulling af door je transparant over je ruitjespapier te schuiven.

Stap 7: Versier de tegel door kleuren of door er iets leuks van te maken, bijvoorbeeld een diertje.

Opdracht 7: Zoek in de bibliotheek of bijvoorbeeld op het internet enkele voorbeelden (minimaal 2) van vlakvullingen van bijvoorbeeld M.C. Escher. Schrijf duidelijk op waar je die vlakvullingen gevonden hebt, dus titels van boeken, internetadressen etc.!!

Opdracht 8: Doe wat extra’s waardoor jullie werkstuk beter en anders wordt dan dat van je klasgenoten.

werkblad M.C. Escher

 

Opdracht 1:

 

Opdracht 2:

 

Opdracht 3: